[中国新闻]悬赏百万美元的数学难题

AJING2006

庞加莱猜想 [/COLOR][/SIZE]

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　　法国人庞加莱（HenriPoincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。[/SIZE]
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　　庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。(中国日报特稿)[/SIZE]
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庞加莱猜想被列为七大数学世纪难题之一，美克莱数学研究所曾悬赏百万美金求解[/COLOR][/SIZE]
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3 n/ W8 u& X# X( [    国际数学界关注了上百年的重大难题——庞加莱猜想，终于被科学家完全破解。昨天，哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想。 [/SIZE]
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“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。”丘成桐说：“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。” [/SIZE]
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  p. U/ p  N" W+ H6 C“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。”数学家杨乐说。在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长达300多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿·佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。 [/SIZE]
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+ E! [( j5 ]$ t) }4 f3 U0 ^' b100多年来，无数的数学家关注并致力于证实庞加莱猜想。20世纪80年代初，美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进展。2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。 [/SIZE]
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8 k. P% E! N2 I/ z运用汉密尔顿·佩雷尔曼的理论，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，发表了300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。从去年9月底至今年3月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期3小时的时间——连续20多个星期、共约70个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的5位数学家进行讲解，回答了专家们提出的一系列问题。 [/SIZE]
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丘成桐指出，这一证明意义重大，将有助于人类更好地研究三维空间，对物理学和工程学都将产生深远的影响。 [/SIZE]

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低调学者朱熹平[/COLOR][/SIZE] [/SIZE]
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3 R5 y/ }- p5 Q6 o' v; X0 b１９８２年毕业于中山大学数学系，１９８４年在中山大学数学系取得硕士学位，１９８９年在中国科学院武汉数学物理研究所取得博士学位。现任中山大学数学系教授、博士生导师，数学与计算科学学院院长，兼任广东省数学学会理事长，中国科学院晨兴数学中心学术委员会委员，浙江大学数学科学研究中心顾问。１９９１年获中国科学院自然科学二等奖，１９９７年入选教育部“跨世纪人才培养计划”，１９９８年获国家杰出青年基金，列入１９９９年度国家人事部“百千万人才工程”第一、第二层次人选，２００１年被聘为教育部“长江学者奖励计划”特聘教授，２００４年获得全球华人数学家大会颁发的晨兴数学银奖。朱熹平长期从事数学科学的教学与研究和国际前沿核心数学中几何分析领域的研究，在几何热流研究方面作出重要贡献。[/SIZE]
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; G5 Q, [! R. O# h; V                中山大学朱熹平教授

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[COLOR=\"DarkSlateBlue\"]“世纪难题”之一：P（多项式算法）与NP（非多项式算法）问题[/COLOR]
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5 U( T9 g  X. E: t3 ^( j# ~. c) }; t在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。

+ k3 P; C2 E" a) s与此类似的是，如果某人告诉你，13717421这个数可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看做逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是美国科学家斯蒂文·考克于1971年陈述的。

[COLOR=\"darkslateblue\"]“世纪难题”之二：霍奇猜想[/COLOR]
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由苏格兰数学家W·霍奇在1950年提出。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。

% s- |4 y+ i$ t" Z. ^: F! S[COLOR=\"darkslateblue\"]“世纪难题”之三：庞加莱猜想[/COLOR]

$ i0 V! P8 `6 P; g3 C4 Z% ^如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在100年以前，法国数学家庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

4 P1 ~6 J$ Z  L% S% G( ~[COLOR=\"darkslateblue\"]“世纪难题”之四：黎曼假设[/COLOR]
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# Y4 ~& Q& j" }: y# C3 ^4 `7 Z有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，19世纪德国数学家黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s）的性态。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
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[COLOR=\"darkslateblue\"]“世纪难题”之五：杨-米尔理论[/COLOR]

% H$ P4 O( p/ D$ A& s# o量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
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# u$ F; c# ~% X2 s# Q, b2 y, k[COLOR=\"darkslateblue\"]“世纪难题”之六：纳威厄-斯托克斯方程[/COLOR]
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+ N0 m9 k* w) F% {) Q" m7 c5 k. m起伏的波浪跟随着我们正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳威厄-斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳威厄-斯托克斯方程中的奥秘。
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[COLOR=\"darkslateblue\"]“世纪难题”之七：波奇和斯温纳顿-戴雅猜想[/COLOR]

数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，波奇和斯温纳顿-戴雅猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z（1）等于0,那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z（1）不等于0,那么只存在有限多个这样的点。